Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x=0代入解析式計(jì)算；
（2）只要使函數(shù)解析式的每一部分都有意義，即解不等式組

2+x＞0 2-x＞0

即可；
（3）已經(jīng)明確定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只要利用奇偶函數(shù)的定義判斷即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=ln（2+x）-ln（2-x），所以f（0）=ln（2+0）-ln（2-0）=0；
（2）要使函數(shù)f（x）=ln（2+x）-ln（2-x）有意義，必須滿足不等式組

2+x＞0 2-x＞0

，解得-2＜x＜2；
所以函數(shù)定義域?yàn)椋?2，2）．
（3）函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
理由為：由（2）知，函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f（-x）=ln（2-x）-ln（2+x）=-[ln（2+x）-ln（2-x）]=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶函數(shù)的判斷；首先要判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，繼續(xù)利用奇偶函數(shù)的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．