Question

4．如圖，雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）虛軸上的端點B（0，b），右焦點F，若以B為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點P，且$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出a，c的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：由題意$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，可得：
BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，
由F（c，0），B（0，b），k_BF=-$\frac{c}$，
可得-$\frac{c}$•$\frac{a}$=-1，
即b²-ac=0，
即c²-a²-ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得：
e²-e-1=0，
又e＞1，
可得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x是解題的關鍵．