Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx+1．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值與最小值；
（2）若x＞1時(shí)，$\frac{f（x）}{x}＞k恒成立$，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷x∈[e^-2，e²]的單調(diào)性，可求得最值；
（2）將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式xlnx+1＞kx在x∈（1，+∞）恒成立的問題，進(jìn)而變?yōu)?k＜\frac{xlnx+1}{x}=lnx+\frac{1}{x}$恒成立，即求$g（x）=lnx+\frac{1}{x}$的取值范圍的問題，可得k取值范圍是（-∞，1]；

解答 解：（1）定義域?yàn)椋?，+∞），且f'（x）=lnx+1，（1分）
當(dāng)x∈[e^-2，e^-1]時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈[e^-1，e²]時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈[e^-2，e^-1]為為減函數(shù)；在x∈[e^-1，e²]上為增函數(shù)，（3分）
∴${f_{min}}（x）=f（{e^{-1}}）=1-{e^{-1}}$，（4分）
$f{（x）_{max}}=max\left\{{f（{e^{-2}}），f（{e^2}）}\right\}=f（{e^2}）=1+2{e^2}$（5分）
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=kx的上方，等價(jià)于x∈（1，+∞）時(shí)不等式xlnx+1＞kx恒成立，
即$k＜\frac{xlnx+1}{x}=lnx+\frac{1}{x}$恒成立，（6分）
令$g（x）=lnx+\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）則$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上遞增，
∴x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞g（1）=1，（9分）
故滿足條件的實(shí)數(shù)k取值范圍是（-∞，1]（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值，函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查不等式恒成，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．