【題目】已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）＝｜x＋a｜＋｜2x－b｜的最小值為1．

（1）證明：2a＋b＝2；

（2）若a＋2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的最大值．

【答案】（1）證明： ，

顯然f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f＝a＋＝1，即2a＋b＝2.；

（2）

【解析】

（1）絕對值不等式，根據(jù)各個絕對值的零點進行分段化簡，由函數(shù)的單調(diào)性求出最值，列出等式，即可證得結(jié)論；

（2）恒成立問題分離參數(shù)，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用基本不等式，即可得到結(jié)果.

（1）證明：

，

顯然f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f＝a＋＝1，即2a＋b＝2.

（2）因為a＋2b≥tab恒成立，所以恒成立，

＝＋＝ (2a＋b)＝ ≥，

當且僅當a＝b＝時，取得最小值.

所以t≤，即實數(shù)t的最大值為.

練習冊系列答案
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