Question

14．若函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)，則對于D上的任意n個值x₁、x₂、…、x_n，總有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）≤nf（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$），現(xiàn)已知函數(shù)f（x）=sinx在[0，$\frac{π}{2}$]上是凸函數(shù)，則在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用凸函數(shù)對于D上的任意n個值x₁、x₂、…、x_n，總有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）≤nf（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$），將函數(shù)f（x）=sinx在[0，$\frac{π}{2}$]，sinA+sinB+sinC$≤3sin\frac{A+B+C}{3}$，得到所求．

解答 解：由已知凸函數(shù)的性質(zhì)得到sinA+sinB+sinC$≤3sin\frac{A+B+C}{3}$=3sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
所以在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故選D．

點評 本題考查了新定義問題中凸函數(shù)的性質(zhì)的運用；明確新定義是解答的關鍵．