Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求sin²x-6cos²x的值；
（Ⅱ）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，求函數(shù)f（2x）的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的平行和角的三角函數(shù)的關系即可求出答案，
（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可得到函數(shù)的單調減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴-sinx=$\sqrt{3}$cosx，
∴tanx=-$\sqrt{3}$，
∴sin²x-6cos²x=$\frac{si{n}^{2}x-6co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x-6}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{3-6}{3+1}$=-$\frac{3}{4}$，
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3}{2}$π+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（2x）的單調減區(qū)間[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和正弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．