【題目】已知橢圓的離心率為,過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn),過點(diǎn)引拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且直線過點(diǎn)?若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo));若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

【解析】

試題

(1) 結(jié)合橢圓的離心率可求得,則橢圓方程為.

(2)由題意首先求得切線方程的參數(shù)形式,據(jù)此可得直線的方程為,則點(diǎn)的軌跡方程為原問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),即滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

試題解析:

Ⅰ)由橢圓的對稱性,不妨設(shè)在軸上方的切點(diǎn)為,軸下方的切點(diǎn)為,

,的直線方程為

因?yàn)闄E圓 的離心率為

所以橢圓

所以 ,則,

所以橢圓方程為.

Ⅱ)設(shè)點(diǎn),

,即,得,

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,

,.

∵點(diǎn)在切線上,∴.

同理,.

綜合①②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.

∵經(jīng)過,兩點(diǎn)的直線是唯一的,

∴直線的方程為,

∵點(diǎn)在直線上,∴,

∴點(diǎn)的軌跡方程為.

又∵點(diǎn)在橢圓上,又在直線上,

∴直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).

∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

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A.B.C.D.

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(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;

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【題目】如圖①,已知矩形中,,的中點(diǎn).沿折起,使得平面平面(如圖②),并在圖②中回答如下問題:

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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(I)求證:

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