Question

已知雙曲線左右兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是右支上一點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線的漸近線方程；
（2）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（3）當(dāng)e取最大值時(shí)，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓的截y軸的線段長(zhǎng)為8，求該圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的關(guān)系，把λ值代入求的值，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用λ表示離心率的平方，據(jù)λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（3）確定圓心位置及直徑，進(jìn)而得到半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：由相似三角形知，，，
∴2a²λ+b²λ=b²，2a²λ=b²（1-λ），．
（1）當(dāng)時(shí)，，∴a=b，y=±x．
（2）
=，在上單調(diào)遞增函數(shù)．
∴時(shí)，e²最大3，時(shí)，e²最小，
∴，∴．
（3）當(dāng)時(shí)，，∴b² =2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)．再由弦的性質(zhì)可得圓心還在線段F₁F₂的中垂線（y軸）上，
∴在y軸上截得的弦長(zhǎng)就是直徑，∴PF₁=8．
又，∴．
∴，故圓心C（0，2），半徑為4，
故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的性質(zhì)、直線和圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．