Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求曲線(xiàn)C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線(xiàn)C₁和C₂相交于兩點(diǎn)A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t即可得出普通方程．曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，兩邊展開(kāi)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．拋物線(xiàn)方程與直線(xiàn)方程聯(lián)立化為y²-y-1=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：$x=（\frac{y}{2}）^{2}$，化為y²=4x．
曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，兩邊展開(kāi)可得：$ρ•\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為x-y=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，化為y²-y-1=0，
∴y₁+y₂=1，y₁y₂=-1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2[{1}^{2}-4×（-1）]}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．