Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)最低點M可求得A；由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離可求得ω；進而把點M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)x的范圍進而可確定當2x+

π

6

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值和最小值．確定函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由最低點為M(

2π

3

，-2)得A=2．
由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為

π

2

得

T

2

=

π

2

，
即T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2
由點M(

2π

3

，-2)在圖象上的2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，即sin(

4π

3

+φ)=-1
故

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z∴φ=2kπ-

11π

6

又φ∈(0，

π

2

)，∴φ=

π

6

，故f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值2；當2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域為[-1，2]

點評：本題主要考查本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式的問題及正弦函數(shù)的單調(diào)性問題．屬基礎(chǔ)題．