Question

14．如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點(diǎn)重合），且DE=DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F．
（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓可證明四邊形BCGF對(duì)角互補(bǔ)，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉(zhuǎn)化為證明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=$\frac{1}{2}$CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S_{四邊形BCGF}=2S_△BCG，據(jù)此解答．

解答 （Ⅰ）證明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽R(shí)t△EDC，
∴$\frac{DF}{ED}$=$\frac{CF}{CD}$，
∵DE=DG，CD=BC，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{BC}$，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）∵E為AD中點(diǎn)，AB=1，∴DG=CG=DE=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△DFC中，GF=$\frac{1}{2}$CD=GC，連接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S_{四邊形BCGF}=2S_△BCG=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的判斷，主要根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行判斷，注意三角形相似和全等性質(zhì)的應(yīng)用．