Question

16．某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米．池底每平方米的造價為120元，池壁每平方米的造價為100元．設池底長方形的長為x米．
（Ⅰ）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（Ⅱ）怎樣設計水池能使總造價最低？最低造價是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析題意，本小題是一個建立函數模型的問題，可設水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，由題中所給的關系，將此兩者用池底長方形長x表示出來．
（Ⅱ）此小題是一個花費最小的問題，依題意，建立起總造價的函數解析式，由解析式的結構發(fā)現，此函數的最小值可用基本不等式求最值，從而由等號成立的條件求出池底邊長度，得出最佳設計方案

解答 解：（Ⅰ）設水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，
則有${S_1}=\frac{6400}{4}=1600$（平方米）．…2分
池底長方形寬為$\frac{1600}{x}$米，則S₂=8x+8×$\frac{1600}{x}$=8（x+$\frac{1600}{x}$）．…6分
（Ⅱ）設總造價為y，則
y=120×1 600+100×8（x+$\frac{1600}{x}$）≥192000+64000=256000．…9分
當且僅當x=$\frac{1600}{x}$，即x=40時取等號．…10分
所以x=40時，總造價最低為256000元．
答：當池底設計為邊長40米的正方形時，總造價最低，其值為256000元．…12分．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，解題的關鍵是建立起符合條件的函數模型，故分析清楚問題的邏輯聯系是解決問題的重點，此類問題的求解的一般步驟是：建立函數模型，進行函數計算，得出結果，再將結果反饋到實際問題中指導解決問題．