Question

已知三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁的上底面面積為a²，下底面面積為b²（a＞0，b＞0），作截面AB₁C₁，設(shè)三棱錐B-AB₁C₁的高等于三棱臺(tái)的高，求△AB₁C₁的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連接BC₁后，我們可以將三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁體積分為三個(gè)三棱錐的體積之和，根據(jù)已知中上底面ABC的面積為a²，下底面面積為b²（b＞a＞0），直線(xiàn)BC與平面AB₁C₁的距離等于這個(gè)三棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)和棱錐體積公式即可得到截面AB₁C₁的面積．

解答： 解：連接BC₁，如下圖所示：
設(shè)三棱臺(tái)的高為h，
則VABC-A1B1C1=

1

3

（S△ABC+

S△ABC•S△A1B1C1

+S△A1B1C1）h
=VA1-ABC+VA-A1B1C1+VB-AB1C1
=

1

3

S_△ABCh+

1

3

S△A1B1C1h+

1

3

S△AB1C1h，
∴

S△ABC•S△A1B1C1

=S△AB1C1，
又∵上底面ABC的面積為a²，下底面面積為b²
∴S△AB1C1=ab
所以△AB₁C₁的面積為ab．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱臺(tái)的體積公式和棱錐的體積公式，將棱臺(tái)的體積VABC-A1B1C1分成三個(gè)三棱錐的體積和是解答本題的關(guān)鍵．