Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值與曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最大值．（）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的判定求出值，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）分離參數(shù)，合理構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以， ．

又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，故，解得，

所以， ．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 恒成立等價(jià)于恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)， 恒成立．

設(shè)（），則，記，

則，所以在上單調(diào)遞增．

又， ，

所以在上存在唯一的實(shí)數(shù)根，使得，①

因此當(dāng)時(shí)， ，即，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，即，則在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)， ，由①可得，

所以．

因?yàn)?/span>， ，又， ，

所以，因此，

又，所以．