Question

6．規(guī)定：點(diǎn)P（x，y）按向量$\overrightarrow n=（a，b）$平移后的點(diǎn)為Q（x+a，y+b）．若函數(shù)$g（x）=sin\frac{1}{2}x$的圖象按向量$\overrightarrow{m}$=（j，k）且|j|$＜\frac{p}{2}$平移后的圖象對應(yīng)的函數(shù)是$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$+1．
（1）試求向量$\overrightarrow m$的坐標(biāo)；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知f（2A）+2cos（B+C）=1，
①求角A的大�。�   ②若a=6，求b+c的取值范圍．
另外：最后一小題也可用“余弦定理結(jié)合基本不等式”求解．

Answer 1

分析 （1）由題意利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（2）①利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式，求得tanA的值，可得A的值．
②利用正弦定理，三角恒等變換化簡b+c為 12sin（B+$\frac{π}{6}$），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得 12sin（B+$\frac{π}{6}$）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$g（x）=sin\frac{1}{2}x$的圖象按向量$\overrightarrow{m}$=（j，k）且|j|$＜\frac{p}{2}$平移后的圖象對應(yīng)的函數(shù)是$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$+1=sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）+1．
∴$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{3}$，1）．
（2）①在△ABC中，
∵已知f（2A）+2cos（B+C）=sin$\frac{1}{2}$（2A+$\frac{π}{3}$）+1-2cosA=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）-2cosA=0，
即sinAcos$\frac{π}{6}$+cosAsin$\frac{π}{6}$=2cosA，∴tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
②△ABC中，∵由正弦定理可得$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{6}{sin\frac{π}{3}}$，∴b=4$\sqrt{3}$sinB，c=4$\sqrt{3}$sinC，
∴b+c=4$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=4$\sqrt{3}$•[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=4$\sqrt{3}$•（sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）=4$\sqrt{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=12•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=12sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（ $\frac{1}{2}$，1]，∴b+c=12sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（6，12]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦定理，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．