Question

二面角M-a-N中，點(diǎn)A∈M，點(diǎn)B∈N，AB=4

2

，點(diǎn)A到a的距離是4，點(diǎn)B到a的距離是2

2

，若AB與a所成的角是30°，求二面角M-a-N的平面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：過(guò)A作AC⊥a，交a于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥a，交a于點(diǎn)C，連結(jié)AD，過(guò)B作BE∥DC，過(guò)C作CE∥BD，交BE于E，連結(jié)AE，則BECD是矩形，人而EC⊥a，進(jìn)而得到∠ACE是二面角M-a-N的平面角，由此利用勾股定理和余弦定理能求出二面角M-a-N的平面角的大小．

解答： 解：過(guò)A作AC⊥a，交a于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥a，交a于點(diǎn)C，連結(jié)AD，
過(guò)B作BE∥DC，過(guò)C作CE∥BD，交BE于E，
連結(jié)AE，則AC=4，BD=2

2

，BECD是矩形，
∴EC⊥a，∴∠ACE是二面角M-a-N的平面角，
由已知得AD=

AB2-BD2

=

32-8

=2

6

，
BE=CD=

AD2-AC2

=

24-16

=2

2

，
∵AB與a所成的角是30°，∴∠ABE=30°，
∴AE=

AB2+BE2-2AB•BEcos30°

=2

10-4 3

，
∴cos∠ACE=

AC2+CE2-AE2

2AC•CE

=

6 - 2

2

．
∴∠ACE=arccos

6 - 2

2

．
∴二面角M-a-N的平面角為arccos

6 - 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角的大小的求法，涉及到線面平行、線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要注意勾股定理、余弦定理的合理運(yùn)用．