Question

7．已知F是雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點(diǎn)，若P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6$\sqrt{6}$）是y軸上一點(diǎn)，則△APF面積的最小值為6+9$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點(diǎn)，直線AF的方程以及AF的長，設(shè)直線y=-2$\sqrt{6}$x+t與雙曲線相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，由判別式為0，求得m，再由平行直線的距離公式可得三角形的面積的最小值．

解答 解：雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點(diǎn)為（3，0），
由A（0，6$\sqrt{6}$），可得直線AF的方程為y=-2$\sqrt{6}$x+6$\sqrt{6}$，
|AF|=$\sqrt{9+（6\sqrt{6}）^{2}}$=15，
設(shè)直線y=-2$\sqrt{6}$x+t與雙曲線相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=t-2\sqrt{6}x}\\{8{x}^{2}-{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，可得16x²-4$\sqrt{6}$tx+t²+8=0，
由判別式為0，即有96t²-4×16（t²+8）=0，
解得t=-4（4舍去），
可得P到直線AF的距離為d=$\frac{|6\sqrt{6}+4|}{\sqrt{1+24}}$=$\frac{4+6\sqrt{6}}{5}$，
即有△APF的面積的最小值為$\frac{1}{2}$d•|AF|=$\frac{1}{2}$×$\frac{4+6\sqrt{6}}{5}$×15=6+9$\sqrt{6}$．
故答案為：6+9$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積的最小值的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運(yùn)用判別式為0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．