Question

如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)M，設(shè)E為BM的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)且BF=

1

2

FC．
（1）證明：A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
（2）若AB=2，AD=1，且∠DAB=60°，求：①AE的長度；②求∠CAE的余弦值；③向量AE在向量AC上的投影．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平行向量與共線向量

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的中點(diǎn)表示，及平面向量基本定理，求出向量AE，AF，均由向量AB，AC表示，即可得證；
（2）求出向量AC的長，再由向量的平方即為模的平方，即可得到向量AE的長；運(yùn)用向量的夾角公式，即可求得cos∠CAE；再由

AE

在向量

AC

上的投影為

AE • AC

| AC |

，計(jì)算即可得到．

解答： （1）證明：E為BM的中點(diǎn)，則

AE

=

1

2

（

AM

+

AB

）
=

1

2

（

1

2

AC

+

AB

）=

1

4

AC

+

1

2

AB

=

1

4

（2

AB

+

AC

），
F為BC上的點(diǎn)且

BF

=

1

2

FC

，
則有

AF

-

AB

=

1

2

（

AC

-

AF

），
即有

AF

=

2 AB + AC

3

，
即有

AF

=

4

3

AE

，即A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
（2）解：①

AC

=

AB

+

AD

，
|

AC

|=

AB 2+ AD 2+2 AB • AD

=

4+1+2×2×1× 1 2

=

7

，
由（1）得，

AE

=

1

4

AC

+

1

2

AB

=

3

4

AB

+

1

4

AD

，
|

AE

|=

9 16 AB 2+ 1 16 AD 2+ 3 8 AB • AD

=

9 16 ×4+ 1 16 ×1+ 3 8 ×2×1× 1 2

=

43

4

；
②cos∠CAE=

AC • AE

| AC |•| AE |

=

3 4 AB 2+ 1 4 AD 2+ AD • AB

7 • 43 4

=

3 4 ×4+ 1 4 +1

301 4

=

17 301

301

；
③

AE

在向量

AC

上的投影為

AE • AC

| AC |

=

17 4

7

=

17 7

28

．

點(diǎn)評：本題考查向量的共線定理的運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的夾角公式和向量的投影的概念，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．