2.在公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a3-a1=$\frac{16}{27}$,a2=-$\frac{2}{9}$,數(shù)列{bn}(bn>0)的前n項和為Sn滿足Sn-Sn-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$(n≥2),且S10=100.
( I)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;
( II)求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為Tn

分析 (I)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得an,Sn,再利用遞推關(guān)系可得bn
(II)利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(I)設(shè){an}的公比為q(q>0),則$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}{q^2}-{a_1}=\frac{16}{27}}\\{{a_1}q=-\frac{2}{9}}\end{array}}\right.$,
∴3q2+8q-3=0,由q>0,解得$q=\frac{1}{3}$,${a_1}=-\frac{2}{3}$,
∴${a_n}=-2×{({\frac{1}{3}})^n}$.
∵${S_n}-{S_{n-1}}=({\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}})({\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}})$=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$,
又bn>0,$\sqrt{S_n}>0$,∴$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$,數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$構(gòu)成一個公差為1的等差數(shù)列,
∵$\sqrt{{S_{10}}}=10$,∴S1=1,∴$\sqrt{S_n}=n$,${S_n}={n^2}$.
當(dāng)n=1,b1=S1=1,
當(dāng)n≥2,bn=Sn-Sn-1=2n-1(n=1也滿足).
(II)$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,
∴Tn=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})$+$(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$.
∴${T_n}=\frac{n}{2n+1}$.

點評 本題考查了“裂項求和法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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