Question

13．試求二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+4在區(qū)間[1，3]上的最值．

Answer 1

分析 將f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+1-a²，所以對(duì)稱軸是x=a，所以討論對(duì)稱軸x=a和區(qū)間[1，3]的關(guān)系：有三種關(guān)系：（1）對(duì)稱軸在區(qū)間的右邊，（2）對(duì)稱軸在區(qū)間上，（3）對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，為便于比較f（1），f（3）的大小，第二種情況又分為在區(qū)間（1，2]，和區(qū)間（2，3）上，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)求出每種情況下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答 解：f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²；
①若a≥3，則函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，所以：
f（x）的最大值為f（1）=5-2a，f（x）的最小值為f（3）=13-6a；
②若1＜a≤2，f（x）的最大值為f（3）=13-6a，最小值為f（a）=4-a²；
③若2＜a＜3，f（x）的最大值是f（1）=5-2a，最小值為f（a）=4-a²；
④若a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，所以：
f（x）的最大值為f（3）=13-6a，最小值為f（1）=5-2a．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求二次函數(shù)最值的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸的關(guān)系．