Question

9．已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值記為g（a），求g（a）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$4（x-\frac{1}{2}a）^{2}$+2-2a．對$\frac{1}{2}$a與0，2的大小關(guān)系分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用討論的函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=$4（x-\frac{1}{2}a）^{2}$+2-2a．
①當(dāng)$\frac{1}{2}a≤$0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（2）=a²-10a+18；
②當(dāng)$\frac{1}{2}a≥2$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴g（a）=f（0）=a²-2a+2；
③當(dāng)$0＜\frac{1}{2}a＜2$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{1}{2}$a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（\frac{1}{2}a，2]$上單調(diào)遞增，∴g（a）=max{f（0），f（2）}．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-10a+18，a≤0}\\{{a}^{2}-2a+2，a≥4}\\{max\{f（0），f（2）\}，0＜a＜4}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得：
①當(dāng)$\frac{1}{2}a≤$0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（0）=a²-2a+2=3，解得a=1-$\sqrt{2}$；
②當(dāng)$\frac{1}{2}a≥2$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（2）=a²-10a+18=3，解得a=5+$\sqrt{10}$；
③當(dāng)$0＜\frac{1}{2}a＜2$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{1}{2}$a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（\frac{1}{2}a，2]$上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}a$時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（$\frac{1}{2}a$）=2-2a=3，解得a=-$\frac{1}{2}$，舍去．
綜上可得a=1-$\sqrt{2}$；或5+$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了分類討論、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．