Question

14．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$．
（1）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，求得x的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，所以f（x）的值域?yàn)?[-\sqrt{3}，2]$．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，∴$sin（2x-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，故 $2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象和直線 y=1時(shí)的兩交點(diǎn)的最短距離為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．