Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間（1，3）上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出m的取值范圍；
（2）相當(dāng)于函數(shù)φ（x）=x-2lnx與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）≥h（x），得m≤$\frac{x}{lnx}$在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{x}{lnx}$，則g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
所以g（x）在（1，e）上遞減，在（e，+∞）上遞增．
故當(dāng)x=e時(shí)，g（x）的最小值為g（e）=e．
所以m≤e．
即m的取值范圍是（-∞，e]．
（2）由已知可得k（x）=x-2lnx-a．函數(shù)k（x）在（1，3）上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)φ（x）=x-2lnx與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
φ′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）遞增．
又φ（1）=1，φ（2）=2-2ln2，φ（3）=3-2ln3，
要使直線y=a與函數(shù)φ（x）=x-2lnx有兩個(gè)交點(diǎn)，則2-2ln2＜a＜3-2ln3．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．