Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間（1，3）上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出m的取值范圍；
（2）相當于函數(shù)φ（x）=x-2lnx與直線y=a有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，求導，求出函數(shù)的最值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）≥h（x），得m≤$\frac{x}{lnx}$在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{x}{lnx}$，則g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當x∈（1，e）時，g′（x）＜0；
當x∈（e，+∞）時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（1，e）上遞減，在（e，+∞）上遞增．
故當x=e時，g（x）的最小值為g（e）=e．
所以m≤e．
即m的取值范圍是（-∞，e]．
（2）由已知可得k（x）=x-2lnx-a．函數(shù)k（x）在（1，3）上恰有兩個不同零點，相當于函數(shù)φ（x）=x-2lnx與直線y=a有兩個不同的交點．
φ′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
當x∈（1，2）時，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，
當x∈（2，3）時，φ′（x）＞0，φ（x）遞增．
又φ（1）=1，φ（2）=2-2ln2，φ（3）=3-2ln3，
要使直線y=a與函數(shù)φ（x）=x-2lnx有兩個交點，則2-2ln2＜a＜3-2ln3．
即實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．