Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為1？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)，的值為.

【解析】

試題分析：（1），由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因此；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得在上最小值為，那么一定要滿(mǎn)足，由此限定出，又根據(jù)第（1）問(wèn)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，但是不合題意，所以，令得的增區(qū)間為；令得的減區(qū)間為，于是，化簡(jiǎn)整理可得，即，于是設(shè)，則上式即為，構(gòu)造，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)計(jì)算時(shí)的值，然后求出的值.

試題解析：（1），

由已知在時(shí)恒成立，即恒成立，

分離參數(shù)得，右邊，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則在時(shí)恒成立，且可以取到等號(hào)，故，即，故，解得．

從而這樣的實(shí)數(shù)必須為正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，由上面的討論知在上遞增，

，此時(shí)不合題意，故這樣的必須滿(mǎn)足，

此時(shí)：令得的增區(qū)間為；令得的減區(qū)間為．

故，

整理得，

即，

設(shè)，

則上式即為，構(gòu)造，則等價(jià)于，

由于為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，

觀察知，故等價(jià)于，與之對(duì)應(yīng)的，

綜上符合條件的實(shí)數(shù)是存在的，即．