一個同心圓形花壇分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份,種植紅、黃、藍三色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.

(1)如圖①,圓環(huán)分成的3等份為a1,a2,a3,有多少種不同的種植方法?如圖②,圓環(huán)分成的4等份為a1,a2,a3,a4,有多少種不同的種植方法?

(2)如圖③,圓環(huán)分成的n等份為a1,a2,a3,…,an,有多少種不同的種植方法?

答案:
解析:

  (1)如圖①,先對a1部分種植,有3種不同的種法,再對a2,a3部分種植,因為a2,a3與a1不同顏色,a2,a3也不同顏色,所以S(3)=3×2=6(種).如圖②,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(種).

  (2)如圖③,圓環(huán)分為n等份,對a1有3種不同的種法,對a2,a3,…,an都有兩種不同的種法,但這樣的種法只能保證a1與ai(i=2,3,…,n-1)不同顏色,不能保證a1與an不同顏色.于是一類是an與a1不同色的種法,這是符合要求的種法,記為S(n)(n≥3)種.另一類是an與a1同色的種法,這時可以把an與a1看成一部分,這樣的種法相當(dāng)于對n-1部分符合要求的種法,記為S(n-1),共有3×2n-1種種法.這樣就有S(n)+S(n-1)=3×2n-1,即S(n)-2n=-[S(n-1)-2n-1],則數(shù)列{S(n)-2n}(n≥3)是首項為S(3)-23,公比為-1的等比數(shù)列.則S(n)2n=[S(3)-23](-1)n-3(n≥3).由(1)知,S(3)=6,所以S(n)-2n=(6-8)(-1)n-3.所以S(n)=2n-2·(-1)n-3.所以符合要求的不同種法有2n-2·(-1)n-3(n≥3)種.


提示:

第(2)問得出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵.


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