Question

2．2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動中，設(shè)計了如下有獎闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個、10個、20個學(xué)豆的獎勵．游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲能闖過第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．
（Ⅰ）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，由此能求出選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，5，15，35，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，
“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，
“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，…（2分）
$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，…（4分）
$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，5，15，35，…（6分）
$P（X=0）=（1-\frac{3}{4}）+P（A）=\frac{7}{16}$，
$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=15）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
$P（X=35）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$…（10分）
所以，X的分布列為：

X	0	5	15	35
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

…（11分）
$EX=0×\frac{7}{16}+5×\frac{3}{8}+15×\frac{1}{8}+35×\frac{1}{16}=\frac{95}{16}$…（12分）

點評 本題考查概率的求法，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運用．