Question

12．近年來，隨著市民經(jīng)濟生活水平的不斷提升，私家車擁有量的逐漸增加，我市交通擁堵現(xiàn)象越來越嚴重，據(jù)市交管部門統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示：每天上午6點到10點，車輛通過我市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進入該路段的時刻t（點）之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{6}{t}^{3}+a{t}^{2}-\frac{74}{3}，（6≤t＜9）}\\{9lnt-t，（9≤t≤10）}\end{array}\right.$表示，已知在每天上午6點時，車輛通過此路段所用時為$\frac{34}{3}$分鐘，試求出上午6點到10點期間，通過該路段用時最多的時刻．

Answer 1

分析 根據(jù)在每天上午6點時，車輛通過此路段所用時為$\frac{34}{3}$分鐘，建立方程關(guān)系求出a=2，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．

解答 解：當t=6時，y=-$\frac{1}{6}$×6³+a×6²-$\frac{74}{3}$=$\frac{34}{3}$，
即-36+36a=36，即36a=72，則a=2，
則當6≤t＜9時，y=f（t）=-$\frac{1}{6}$×t³+2t²-$\frac{74}{3}$，則f′（t）=-$\frac{1}{2}$t²+4t=-$\frac{1}{2}$t（t-8），
則當6≤t＜8時，f′（t）＞0，當8＜t＜9時，f′（t）＜0，即當t=8時，函數(shù)f（t）取得極大值，f（8）=-$\frac{1}{6}$×8³+2×8²-$\frac{74}{3}$=18，
當9≤t≤10時，函數(shù)f（t）=9lnt-t，則f′（t）=$\frac{9}{t}$-1=$\frac{9-t}{t}$，則此時f′（t）≤0，則函數(shù)f（t）為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（9）=9ln9-9=9（ln9-1）＜18．
即求出上午6點到10點期間，通過該路段用時最多的時刻是8點．

點評 本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．