Question

11．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于t的一元二次方程t²+2$\sqrt{6}$t+f（m）=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由絕對(duì)值不等式知f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，從而可得|1-2a|＞4，從而解得；
（2）由題意知△=24-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，從而可得|2m+1|+|2m-3|≤6，再分類討論去絕對(duì)值號(hào)，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴|1-2a|＞4，
∴a＜-$\frac{3}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．
（2）由題意知，
△=24-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，
即|2m+1|+|2m-3|≤6，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤-\frac{1}{2}}\\{-2m-1-2m+3≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\\{2m+1-2m+3≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{3}{2}}\\{2m+1+2m-3≤6}\end{array}\right.$，
解得，-1≤m≤2；
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及絕對(duì)值不等式的解法，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．