Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C都在雙曲線的右支上，若△ABC為等邊三角形，求雙曲線的離心率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，判斷直線BC垂直于x軸，設(shè)出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，因?yàn)锽，C點(diǎn)存在，所以方程有大于a的解，再利用判別式和對稱軸即可求出a，b的關(guān)系，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求范圍．

解答： 解：由雙曲線的方程知A（a，0），
根據(jù)雙曲線的對稱性，若三角形ABC為等邊三角形，則BC垂直于x軸，
∴AB的傾斜角為30°
設(shè)直線AB方程為y=

3

3

（x-a），代入雙曲線方程，化簡，得，
（b²-

1

3

a²）x²+

2

3

a³x-

1

3

a⁴-a²b²=0，
∵滿足條件的點(diǎn)B存在，
∴方程（b²-

1

3

a²）x²+

2

3

a³x-

1

3

a⁴-a²b²=0有兩解，一個(gè)等于a，一個(gè)屬于（a，+∞）．
∴

b2- 1 3 a2≠0 △= 4 9 a6+4(b2- 1 3 a2)( 1 3 a4+a2b2)＞0 - 2 3 a3 2(b2- 1 3 a2) ＞a

，
解得，

1

3

a²＞b²，即有a²＞3c²-3a²，即有2a＞

3

c，
則離心率e=

c

a

＜

2 3

3

，而e＞1，
則離心率的取值范圍是（1，

2 3

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，考查二次方程實(shí)根的分布，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．