Question

【題目】如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(3）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．

試題解析：（I）記與的交點(diǎn)為，連接，∵、分別是

的中點(diǎn)，是矩形

∴四邊形是平行四邊形，∴∥，∵平面

平面，∴∥平面6分

（Ⅱ）在平面中過(guò)作于，連接，

∵

∴平面，∴是在平面上的射影，

由三垂線定理點(diǎn)得

∴是二面角的平面角，

在中，，

∴

二面角的大小為8分

另解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，設(shè)與交于點(diǎn)，則

（I）易得：，

則∥，由面，故∥面；

（Ⅱ）取面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為，

則，

故二面角的大小為．