Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞）（a是實(shí)數(shù)），g（x）=

2x

x2+1

+1．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)a滿足：對(duì)于任意x₁∈[1，2]，總存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，若存在，求出a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=g（x_n）-1，求證：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

5

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再分類討論，當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x₁）的值域，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g（x₂）的值域，根據(jù)條件繼而求出a的范圍；
（3）先求出x_n的范圍，再利用基本不等式求出x_n+1-x_n＜

2 +1

8

，利用裂項(xiàng)求和法，以及放縮法證明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，′（x）=

1

x

-

1

x2

+a≥0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
當(dāng)a＜0時(shí)，
∴f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
∴

1

x

-

1

x2

+a≥0，

1

x

-

1

x2

+a≤0，
即a≥-

1

x

+

1

x2

，或a≤-

1

x

+

1

x2

，
設(shè)F（x）=-

1

x

+

1

x2

，
∴F′（x）=

1

x2

-

2

x3

=

x-2

x3

，
令F′（x）=0，解得x=2，
當(dāng)F′（x）＞0即x＞2時(shí)，函數(shù)遞增，
當(dāng)F′（x）＜0即0＜x＜2時(shí)，函數(shù)遞減，
當(dāng)x=2是函數(shù)函數(shù)有最小值，即F（x）_min=F（2）=-

1

4

，
函數(shù)無(wú)最大值，
故a≤-

1

4

，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）
（2）不滿足條件的正實(shí)數(shù)a，
因?yàn)橛桑?）知，a＞0時(shí)，f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
所以f（x₁）∈[1+a，ln2+

1

2

+2a]，
g′（x）=

2(1-x2)

(1+x2)2

，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）≤0，
所以g（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，g（x₂）∈[

9

5

，2]，
若對(duì)于任意x₁∈[1，2]時(shí)，總存在x₂∈[1，2]時(shí)，使f（x₁）=f（x₂）成立，
則[1+a，ln2+

1

2

+2a]∈[

9

5

，2]，此時(shí)無(wú)解
（3）因?yàn)閤_n+1=g（x_n）-1=

2xn

xn2+1

，所以x₁＞0時(shí)，0＜x_n+1≤1，n∈N*，當(dāng)且僅當(dāng)x_n=1時(shí)取等號(hào)，
若x_n=1，則x₁=1，這與已知相矛盾，所以0＜x_n＜1，
x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）

1+xn

xn2+1

≤

1

4

•

1

xn+1+ 2 xn+1 -2

≤

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

，（兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立），
所以

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

（

1

xn

-

1

xn+1

），
所以：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

[（

1

x1

-

1

x2

）+（

1

x2

-

1

x3

）+…+（

1

xn

-

1

xn+1

）]=

2 +1

8

（

1

x1

-

1

xn+1

）
又x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）

1+xn

xn2+1

＞0，
所以x_n+1＞x_n，
所以

1

2

≤x_n＜1，
又x₁=

1

2

，
所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

（2-1）＜

3 2 +1

8

=

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及基本不等式的性質(zhì)，裂項(xiàng)求和，放縮法，培養(yǎng)可學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，處理解決問(wèn)題的能力，屬于難題