Question

18．設(shè)f（x）=lnx-ax+1．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，恒有f（x）≤0，求a范圍，在此情況下，4^x-3•2^x+3≤a恒成立，求x范圍；
（3）證明：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}（n∈N，n≥2）$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值；
（2）由（1）可知-lna≤0，a≥1.4^x-3•2^x+3≤a恒成立，4^x-3•2^x+3≤1，由此即可求x范圍；
（3）證明lnx≤x-1，從而$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，令x=n²，可得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），再進(jìn)行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx-ax+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值；
a＞0時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{1}{a}$，函數(shù)取得極大值f（$\frac{1}{a}$）=-lna；
（2）解：由（1）可知-lna≤0，∴a≥1．
4^x-3•2^x+3≤a恒成立，∴4^x-3•2^x+3≤1，∴4^x-3•2^x+2≤0，1≤2^x≤2，∴0≤x≤1；
（3）證明：當(dāng)a=1，當(dāng)0＜x≤1，f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，所以f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增；
x＞1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≤x-1．
∵x＞0，∴$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]＜$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{2{n}^{2}-n+1}{4（n+1）}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}（n∈N，n≥2）$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中用放縮法證明不等式是解題的難點(diǎn)．