Question

2．已知O（0，0），A（2，-1），B（1，2）．
（1）求△OAB的面積；
（2）若點(diǎn)C滿足直線BC⊥AB，且AC∥OB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由兩點(diǎn)之間的距離公式求出|OA、|OB|，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，判斷出OA⊥OB，由三角形的面積公式求出△OAB的面積；
（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$，根據(jù)條件、向量垂直和平行的坐標(biāo)條件列出方程組，求出x，y的值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意得，|OA|=|OB|=$\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{OB}$=（1，2），$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴OA⊥OB，則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
則$\overrightarrow{BC}$=（x-1，y-2），$\overrightarrow{AC}$=（x-2，y+1），且$\overrightarrow{AB}$=（-1，3），
∵直線BC⊥AB，且AC∥OB，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{OB}$，則$\left\{\begin{array}{l}{-（x-1）+3（y-2）=0}\\{2（x-2）-（y+1）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）．

點(diǎn)評 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直和平行的坐標(biāo)條件，以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．