Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，-1），$\overrightarrow$=（x-2，3），$\overrightarrow{c}$=（1-2x，6）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），求|$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），則轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=0，利用向量數(shù)量積的公式建立方程求出x即可求|$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，轉(zhuǎn)化為x的一元二次不等式進(jìn)行求解即可求x的取值范圍．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），則$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=0，
即2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，
即2x（x-2）-6+x（1-2x）-6=0，
則-3x-12=0，則x=-4，
則$\overrightarrow$=（-6，3），
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{（-6）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{36+9}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，則x（x-2）-3＜0，
即x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
即x的取值范圍是（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．