Question

8．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，虛軸長為4．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）過點（0，1），傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用雙曲線的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到a=1，b=2，進而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線l的方程為y=x+1，代入雙曲線的方程，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）依題意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\sqrt{5}\\ 2b=4\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.$，
解得$a=1，b=2，c=\sqrt{5}$，
∴雙曲線的標準方程為${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．                 
（Ⅱ）直線l的方程為y=x+1，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 4{x^2}-{y^2}=4\end{array}\right.$可得3x²-2x-5=0，
由韋達定理可得 ${x_1}+{x_2}=\frac{2}{3}$，${x_1}{x_2}=-\frac{5}{3}$，
即 $|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{20}{3}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，
原點到直線l的距離為$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
于是${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•|{AB}|•d=\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{2}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{3}$，
∴△AOB的面積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查三角形的面積的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．