Question

18．設(shè)直線x-3y+t=0（t≠0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)M（t，0）滿足|MA|=|MB|，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±4x
• B． y=±2x
• C． y=±$\frac{1}{2}$x
• D． y=±$\frac{1}{4}$x

Answer 1

分析 先求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立直線x-3y+t=0，求得A，B的坐標(biāo)，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)M（t，0）滿足|MA|=|MB|，可得$\frac{\frac{3t^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{t{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-t}$=-3，化簡整理可得a=2b，從而可求雙曲線的漸近線方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
與直線x-3y+t=0聯(lián)立，
可得A（$\frac{ta}{3b-a}$，$\frac{tb}{3b-a}$），B（-$\frac{ta}{3b+a}$，$\frac{tb}{3b+a}$），
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{t{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3t^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$），
∵點(diǎn)M（t，0）滿足|MA|=|MB|，
∴$\frac{\frac{3t^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{t{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-t}$=-3，
∴a=2b，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．