Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或

（Ⅱ）①當(dāng)時，，即；

②當(dāng)時，，即；

③當(dāng)時，，即．

（Ⅲ）見解析

【解析】(I)當(dāng)時，g(x)=f(x)-k有一個零點，實質(zhì)是y=f(x)與直線y=k有一個公共點，所以利用導(dǎo)數(shù)研究y=f(x)的單調(diào)性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.

(II)當(dāng)a=2時，令,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關(guān)系.

(III)解本小題的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．

令，則有，從而得,問題得解.

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當(dāng)或時，，當(dāng)時，，

函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時，； 當(dāng)時，，

當(dāng)僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分

（Ⅱ）當(dāng)時，，定義域為．

令，

，     在上是增函數(shù)． ………7分

①當(dāng)時，，即；

②當(dāng)時，，即；

③當(dāng)時，，即．……………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．

令，則有，   

． ……………12分

， ．  ……………14分

（法二）當(dāng)時，．

，，即時命題成立．…………………10分

設(shè)當(dāng)時，命題成立，即 ．

 時，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．……………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分

，

又，，

．

．………………14分