Question

18．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=4a_n+2
（1）求證：{b_n+1}是等比數(shù)列并求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{b_n}滿足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．變形為：b_n+1=3（b_n-1+1），利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用遞推關(guān)系可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．
∴b_n+1=3（b_n-1+1），∴數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，
∴b_n+1=2×3^n-1，即b_n=2×3^n-1-1．
（2）解：∵S_n=4a_n+2，∴n=1時(shí)，a₁=4a₁+2，解得a₁=$-\frac{2}{3}$．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4a_n+2-（4a_n-1+2），化為：a_n=$\frac{3}{4}$a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{3}{4}$．
∴a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{3}{4}）^{n-1}$．
S_n=-4×$\frac{2}{3}$×$（\frac{3}{4}）^{n-1}$+2=-$2×（\frac{3}{4}）^{n-2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．