Question

設f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x為奇函數，a為常數．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數f（x）在x∈（1，+∞）時的單調性；
（3）若對于區(qū)間[2，3]上的每一個x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，求實數m取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x為奇函數，滿足f（-x）+f（x）=0，代入可得a的值；
（2）設1＜x₁＜x₂＜+∞，結合對數運算性質，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而可得函數f（x）在x∈（1，+∞）時的單調性；
（3）若對于區(qū)間[2，3]上的每一個x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，m＜[f（x）-2^x]_min，分析f（x）-2^x的單調性并求出最值，可得實數m取值范圍．

解答： 解：（1）由條件得：f（-x）+f（x）=0，
∴log2

1+ax

-x-1

+log2

1-ax

x-1

=0，
化簡得（a²-1）x²=0，
因此a²-1=0，a=±1，
當a=1時，

1-x

x-1

=-1＜0，不符合題意，
因此a=-1．        …（4分）
（也可以直接根據函數定義域關于坐標原點對稱，得出結果，同樣給分）
（2）判斷函數f（x）在x∈（1，+∞）上為單調減函數；
證明如下：設1＜x₁＜x₂＜+∞，

f(x1)-f(x2)=log2 x1+1 x1-1 -x1-log2 x2+1 x2-1 +x2=log2 x1+1 x1-1 • x2-1 x2+1 +(x2-x1)

，
∵1＜x₁＜x₂＜+∞，
∴x₂-x₁＞0，x₁±1＞0，x₂±1＞0，
∵（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=x₁x₂-x₁+x₂-1-x₁x₂-x₁+x₂+1=2（x₂-x₁）＞0，
又∵（x₁+1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂+1）＞0，
∴

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

，log2

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

＞0，
又x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在x∈（1，+∞）上為單調減函數；
（也可以利用導數證明，對照給分）          …（9分）
（3）不等式為m＜f（x）-2^x恒成立，
∴m＜[f（x）-2^x]_min
∵f（x）在x∈[2，3]上單調遞減，2^x在x∈[2，3]上單調遞增，
∴f（x）-2^x在x∈[2，3]上單調遞減，
當x=3時取得最小值為-10，
∴m∈（-∞，-10）…（14分）

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，恒成立問題，奇函數，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．