Question

設(shè)f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）時(shí)的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于區(qū)間[2，3]上的每一個(gè)x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x為奇函數(shù)，滿足f（-x）+f（x）=0，代入可得a的值；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂＜+∞，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）時(shí)的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于區(qū)間[2，3]上的每一個(gè)x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，m＜[f（x）-2^x]_min，分析f（x）-2^x的單調(diào)性并求出最值，可得實(shí)數(shù)m取值范圍．

解答： 解：（1）由條件得：f（-x）+f（x）=0，
∴log2

1+ax

-x-1

+log2

1-ax

x-1

=0，
化簡(jiǎn)得（a²-1）x²=0，
因此a²-1=0，a=±1，
當(dāng)a=1時(shí)，

1-x

x-1

=-1＜0，不符合題意，
因此a=-1．        …（4分）
（也可以直接根據(jù)函數(shù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，得出結(jié)果，同樣給分）
（2）判斷函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
證明如下：設(shè)1＜x₁＜x₂＜+∞，

f(x1)-f(x2)=log2 x1+1 x1-1 -x1-log2 x2+1 x2-1 +x2=log2 x1+1 x1-1 • x2-1 x2+1 +(x2-x1)

，
∵1＜x₁＜x₂＜+∞，
∴x₂-x₁＞0，x₁±1＞0，x₂±1＞0，
∵（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=x₁x₂-x₁+x₂-1-x₁x₂-x₁+x₂+1=2（x₂-x₁）＞0，
又∵（x₁+1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂+1）＞0，
∴

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

，log2

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

＞0，
又x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
（也可以利用導(dǎo)數(shù)證明，對(duì)照給分）          …（9分）
（3）不等式為m＜f（x）-2^x恒成立，
∴m＜[f（x）-2^x]_min
∵f（x）在x∈[2，3]上單調(diào)遞減，2^x在x∈[2，3]上單調(diào)遞增，
∴f（x）-2^x在x∈[2，3]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=3時(shí)取得最小值為-10，
∴m∈（-∞，-10）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，恒成立問題，奇函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．