Question

已知數列{a_n}，對任何正整數n都有：a₁•1+a₂•2+a₃•2²+…+a_n•2^n-1=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）①若λ≥

7an-2

2an

（n∈N⁺）恒成立，求實數λ的范圍；
②若數列{b_n}滿足b_n=|（-1）ⁿ•2^a_n+7-2a_n|，求數列{b_n}的前項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設bn=2n-1，由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，得an•bn=n•2n-1，從而能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）①記f（n）=

7n-2

2n

，n∈N^*，則

f(n+1)

f(n)

=

1

2

•

7n-5

7n-2

=

1

2

(1+

5

7n-2

)，推導出f（n）先增后減，在n=2時取到最大值，由此求出λ≥f（2）=3．
②由b_n=|（-1）ⁿ•2ⁿ+7-2n|=|（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ|，得到S_n=（5-2）+（3+2²）+（-1+2³）+（-1+2⁴）+（3+2⁵）+（-5+2⁶）+…+[（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ]，由此能求出數列{b_n}的前項和S_n．

解答： 解：（1）依題意，設數列{b_n}的通項公式為bn=2n-1，
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1（n≥2），
兩式相減可得an•bn=n•2n-1，即a_n=n．
當n=1時，a₁=1，從而對一切n∈N^*，都有a_n=n．
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=n．
（2）①記f（n）=

7n-2

2n

，n∈N^*，
則

f(n+1)

f(n)

=

1

2

•

7n-5

7n-2

=

1

2

(1+

5

7n-2

)，
當n=1時，

f(n+1)

f(n)

＞1，f（2）＞f（1），
當n≥2時，

f(n+1)

f(n)

≤

1

2

(1+

5

12

)＜1，
∴f（n）先增后減，在n=2時取到最大值，
∴λ≥f（2）=3．
②b_n=|（-1）ⁿ•2^a_n+7-2a_n|=|（-1）ⁿ•2ⁿ+7-2n|=|（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ|，
S_n=（5-2）+（3+2²）+（-1+2³）+（-1+2⁴）+（3+2⁵）+（-5+2⁶）+…+[（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ]
=5-2+3-1+（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）+[-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（7-2n）]
=3+（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）+[-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（7-2n）]
=

3+ 2(1-2n) 1-2 +2× n-3 2 ，n為奇數 3+ 2(1-2n) 1-2 +2× n-4 2 +7-2n，n為偶數

=

2n+1+n-2，n為奇數 2n+1-n+4，n為偶數

．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，解題時要注意分組求和法的合理運用．