Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）已知AP=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC、BD，交于點O，連結(jié)OE，則OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-AE-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，交于點O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD為矩形，∴O是BD中點，
∵E為PD的中點，∴OE∥PB，
∵PB?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AP=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴A（0，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），D（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3），
又平面DEA的法向理$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角D-AE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角D-AE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．