Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F(xiàn)分別為AB，A₁D，A₁C的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AA₁上，且A₁D⊥EG．
（1）求證：CD∥平面EFG；
（2）求證：A₁D⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線的性質(zhì)，證明EF∥CD，利用線面平行的判定定理證明：CD∥平面EFG；
（2）利用等腰三角形三線合一證明CD⊥AB，利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明CD⊥A₁D，利用線面垂直的判定定理證明：A₁D⊥平面EFG．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別為A₁D，A₁C的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，
∵CD?平面EFG，EF?平面EFG，
∴CD∥平面EFG；
（2）∵CA=CB，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，側(cè)面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴CD⊥側(cè)面ABB₁A₁，
∴CD⊥A₁D，
∵EF∥CD，
∴A₁D⊥EF，
∵A₁D⊥EG，EF∩EG=E，
∴A₁D⊥平面EFG．

點(diǎn)評 本題考查線面平行，線面垂直，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行、線面垂直的判定，屬于中檔題．