Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，（a為常數(shù)且a≠0），若f（x）在x₀處取得極值，且x₀∉[e+2，e²+2]，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，則a的取值范圍（　　）

• A． a≥e⁴+2e²
• B． a＞e²+2e
• C． a≥e²+2e
• D． a＞e⁴+2e²

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得極值點(diǎn)，確定函數(shù)的單調(diào)性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組可得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，得f′（x）=$\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2），令f′（x）=0，可得x₀=1±$\sqrt{a+1}$，
∵f（x）在x₀處取得極值，∴1+$\sqrt{a+1}$＞2，即a＞0．
∴函數(shù)在（2，1+$\sqrt{a+1}$）上單調(diào)增，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）上單調(diào)減，
又x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函數(shù)在區(qū)間[e+2，e²+2]上是單調(diào)函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{a+1}＞{e}^{2}+2}\\{f（e+2）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{e+2＞1+\sqrt{a+1}}\\{f（{e}^{2}+2）≥0}\end{array}\right.$，
解得a＞e⁴+2e² ．
∴a的取值范圍是a＞e⁴+2e² ．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，屬于中檔題．