9.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>$\frac{f(x)}{x}$恒成立,設(shè)a>1,則實(shí)數(shù)P=$\frac{{4af({a+1})}}{a+1}$,M=2$\sqrt{a}f({2\sqrt{a}})$,$N=({a+1})f({\frac{4a}{a+1}})$的大小關(guān)系為( 。
A.P<M<NB.P>M>NC.M<P<ND.M>P>N

分析 令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0),依題意,可知g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0)為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;而P=4a•g(a+1),M=4a•g(2$\sqrt{a}$),N=4a•g($\frac{4a}{a+1}$),再由a+1>2$\sqrt{a}$>$\frac{4a}{a+1}$>0,即可求得答案.

解答 解:∵x<0時(shí),f′(x)>$\frac{f(x)}{x}$恒成立,
∴x<0時(shí),xf′(x)-f(x)<0恒成立①,
令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0),
又函數(shù)f(x)為定義域上的偶函數(shù)(圖象關(guān)于y軸對(duì)稱),y=x為奇函數(shù),
∴g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0)為奇函數(shù);
又g′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$,
由①知,當(dāng)x<0時(shí),g′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$<0,
∴g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,
∴奇函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;
又當(dāng)a>1時(shí),P=$\frac{{4af({a+1})}}{a+1}$=4a•$\frac{f(a+1)}{a+1}$=4a•g(a+1),
M=2$\sqrt{a}f({2\sqrt{a}})$=4a•$\frac{f(2\sqrt{a})}{2\sqrt{a}}$=4a•g(2$\sqrt{a}$),
$N=({a+1})f({\frac{4a}{a+1}})$=4a•$\frac{f(\frac{4a}{a+1})}{\frac{4a}{a+1}}$=4a•g($\frac{4a}{a+1}$),
∵a>1,∴a+1>2$\sqrt{a}$,
∴$\frac{2\sqrt{a}}{a+1}$<1,
∴$\frac{4a}{a+1}$<2$\sqrt{a}$,
即a+1>2$\sqrt{a}$>$\frac{4a}{a+1}$>0,
∴g(a+1)<g(2$\sqrt{a}$)<g($\frac{4a}{a+1}$),
∴4ag(a+1)<4ag(2$\sqrt{a}$)<4ag($\frac{4a}{a+1}$),即P<M<N.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$(x≠0),觀察得到P=4a•g(a+1),M=4a•g(2$\sqrt{a}$),N=4a•g($\frac{4a}{a+1}$)是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.

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