Question

14．偶函數(shù)定義在R上，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xf′（x），且 f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的單調(diào)性和奇偶性解不等式．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xf′（x），
故x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
而函數(shù)是偶函數(shù)，故g（x）在（-∞，0）遞減，
∴x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞0，即f（x）＞0=f（1），
解得：x＞1，
x＜0時(shí)，不等式xf（x）＞0，即f（x）＜0=f（-1），
解得：-1＜x＜0，
故不等式的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．