Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓的方程；

（2）若經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，試判斷是否為定值？若為定值，試求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為 (2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題意知， 的周長(zhǎng)，求得的值，進(jìn)而得到的值，從而求得橢圓的方程；

（2）①當(dāng)直線在斜率不存在時(shí)，把代入橢圓方程，即可求解的值；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程組，求得，利用弦長(zhǎng)公式，求解，再根據(jù)因?yàn)?/span>，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，進(jìn)而求得則，即可得到結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意知， 的周長(zhǎng)為，所以，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，故橢圓的方程為；

（2）①當(dāng)直線在斜率不存在時(shí)，其方程為，代入橢圓方程得，

不妨設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為，代入橢圓方程得，

不妨設(shè)，則，

所以；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

由消去得，

則，

，則，

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為，設(shè)，

由消去得，則，

則，

所以，綜上所述， 為定值