Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，實軸長為2
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l是圓O：x²+y²=2上動點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明∠AOB的大小為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2a=2，即a=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，求得c=$\sqrt{3}$，由b²=c²-a²=2，代入即可求得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求得圓在點（x₀，y₀）處的切線方程x₀x+y₀y=2，代入雙曲線方程，由韋達定理求得x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3{x}_{0}^{2}-4}$，x₁•x₂=$\frac{8-2{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$，由夾角公式cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{丨\overrightarrow{OA}丨•丨\overrightarrow{OB}丨}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$（2-x₀•x₁）（2-x₀•x₂），化簡整理即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即cos∠AOB=90°．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得2a=2，即a=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
解得：c=$\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=2，
∴求雙曲線C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）證明：點P（x₀，y₀），x₀•y₀≠0在圓x²+y²=2上，
圓在點（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），化簡得x₀x+y₀y=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x{x}_{0}+{y}_{0}y=2}\end{array}\right.$，及${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2$，得（3${x}_{0}^{2}$-4）x²-4x₀x+8-2${x}_{0}^{2}$=0，
∵切線l與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜${x}_{0}^{2}$＜2，
∴3${x}_{0}^{2}$-4≠0，且△=16${x}_{0}^{2}$-4（3${x}_{0}^{2}$-4）（8-2${x}_{0}^{2}$）＞0，
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3{x}_{0}^{2}-4}$，x₁•x₂=$\frac{8-2{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$，
∵cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{丨\overrightarrow{OA}丨•丨\overrightarrow{OB}丨}$，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$（2-x₀•x₁）（2-x₀•x₂），
=x₁•x₂+$\frac{1}{2-{x}_{0}^{2}}$[4-2x₀（x₁+x₂）+${x}_{0}^{2}$x₁•x₂]，
=$\frac{8-2{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$+$\frac{1}{2-{x}_{0}^{2}}$[4-$\frac{8{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$+$\frac{{x}_{0}^{2}（8-2{x}_{0}^{2}）}{3{x}_{0}^{2}-4}$]，
=$\frac{8-2{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$-$\frac{8-2{x}_{0}^{2}}{3{x}_{0}^{2}-4}$=0．
∴∠AOB的大小為90°．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，圓的切線方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量的夾角公式，向量數(shù)量積的坐標表示及韋達定理的綜合應用，屬于中檔題．