分析 (1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式列出方程,求出a、b的值,即可求出f(x);
(2)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟:取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明;
(3)由(2)判斷f(x)在[$\frac{1}{4}$,1]上的單調(diào)性,由單調(diào)性求出最值,即可得到f(x)的值域.
解答 解:(1)∵f(x)的圖象過(guò)A(1,1)、B(2,-1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2a+\frac{2}=-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴$f(x)=-x+\frac{2}{x}$ …(4分)
(2)證明:設(shè)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-x1+$\frac{2}{{x}_{1}}$)-(-x2+$\frac{2}{{x}_{2}}$)
=(x2-x1)+$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{({x}_{2}-{x}_{1})({x}_{1}{x}_{2}+2)}{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+2>0.
由x1<x2得,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)$f(x)=-x+\frac{2}{x}$在(0,+∞)上為減函數(shù). …(10分)
(3)由(2)知,函數(shù)$f(x)=-x+\frac{2}{x}$在[$\frac{1}{4}$,1]上為減函數(shù),
∴f(x)min=f(1)=1,$f{(x)}_{max}=f(\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}+8=\frac{31}{4}$,
∴f(x)的值域是$[1,\frac{31}{4}]$.(12)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域,考查方程思想,化簡(jiǎn)、變形能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{72}}{2}$ | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{64}$ | C. | $\frac{1}{128}$ | D. | $\frac{1}{256}$ |
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A. | 4、8 | B. | 3、9 | C. | 2、10 | D. | 1、11 |
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