15.已知函數(shù)f(x)=ax+$\frac{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),B(2,-1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并用定義證明;
(3)求f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,1]上的值域.

分析 (1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式列出方程,求出a、b的值,即可求出f(x);
(2)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟:取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明;
(3)由(2)判斷f(x)在[$\frac{1}{4}$,1]上的單調(diào)性,由單調(diào)性求出最值,即可得到f(x)的值域.

解答 解:(1)∵f(x)的圖象過(guò)A(1,1)、B(2,-1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2a+\frac{2}=-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴$f(x)=-x+\frac{2}{x}$  …(4分)
(2)證明:設(shè)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-x1+$\frac{2}{{x}_{1}}$)-(-x2+$\frac{2}{{x}_{2}}$)
=(x2-x1)+$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{({x}_{2}-{x}_{1})({x}_{1}{x}_{2}+2)}{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+2>0.
由x1<x2得,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)$f(x)=-x+\frac{2}{x}$在(0,+∞)上為減函數(shù).            …(10分)
(3)由(2)知,函數(shù)$f(x)=-x+\frac{2}{x}$在[$\frac{1}{4}$,1]上為減函數(shù),
∴f(x)min=f(1)=1,$f{(x)}_{max}=f(\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}+8=\frac{31}{4}$,
∴f(x)的值域是$[1,\frac{31}{4}]$.(12)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域,考查方程思想,化簡(jiǎn)、變形能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5.設(shè)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),并且對(duì)任意x∈R,均有f(-x)=f(x+2),又當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f (x)=2 x,則f($\frac{5}{2}$)的值是( 。
A.$\frac{\sqrt{72}}{2}$B.-$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.-$\sqrt{2}$D.$\sqrt{2}$

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6.已知數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{n{a}_{n}}{(n+1)(n{a}_{n}+1)}$(n∈N*),若不等式$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n}$+tan≥0恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-6,+∞).

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3.函數(shù)y=$\sqrt{{{log}_3}({2x-1})}$的定義域?yàn)閇1,+∞).

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10.設(shè)f(x)是[0,1]上的不減函數(shù),即對(duì)于0≤x1≤x2≤1有f(x1)≤f(x2),且滿足(1)f(0)=0;(2)f($\frac{x}{3}$)=$\frac{1}{2}$f(x);(3)f(1-x)=1-f(x),則f($\frac{1}{2016}$)=( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{64}$C.$\frac{1}{128}$D.$\frac{1}{256}$

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20.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),記f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
則f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2-x,解關(guān)于x的方程f[2](x)=x;
(2)記△=(b-1)2-4ac,若f[2](x)=x有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求△的取值范圍.

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7.若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).且滿足f(3)=6,當(dāng)x>0時(shí)f′(x)>2,則不等式f(x)-2x<0的解集為{x|x<3}.

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4.已知P為雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上的動(dòng)點(diǎn),M為圓(x+5)2+y2=1上動(dòng)點(diǎn),N為圓(x-5)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|-|PN|的最小值、最大值分別為( 。
A.4、8B.3、9C.2、10D.1、11

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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{2}^{x}+m}{{2}^{x}-1}$為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為單調(diào)減函數(shù);
(3)若關(guān)于x的不等式f(x)+a<0對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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