Question

4．已知P為雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上的動(dòng)點(diǎn)，M為圓（x+5）²+y²=1上動(dòng)點(diǎn)，N為圓（x-5）²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最小值、最大值分別為（　�。�

• A． 4、8
• B． 3、9
• C． 2、10
• D． 1、11

Answer 1

分析 由已知條件知道雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心和半徑，再利用平面幾何知識(shí)把|PM|-|PN|轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離即可求|PM|-|PN|的最小值和最大值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），
則這兩點(diǎn)正好是兩圓（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=4的圓心，半徑分別是r₁=1，r₂=2，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|PM|_min=|PF₁|-1，|PN|_max=|PF₂|+2，
∴|PM|_max=|PF₁|+1，|PN|_min=|PF₂|-2，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-1）-（|PF₂|+2）=6-3=3，
PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-2）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最小值、最大值分別3，9，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和雙曲線與圓的關(guān)系，著重考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解和應(yīng)用，以及對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)能力，屬于中檔題．