Question

6．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）給出定義：設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2016}{2016}$）=$2017\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=2，
則g（0）=-$\frac{5}{12}$，g（1）=2-g（0）=$\frac{29}{12}$，
故設(shè)g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2014}{2016}$）+g（$\frac{2015}{2016}$）=m，
則g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）+…+g（$\frac{2}{2016}$）+g（$\frac{1}{2016}$）=m，
兩式相加得2×2015=2m，
則m=2015．
則g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2016}{2016}$）=2015+$\frac{29}{12}$=$2017\frac{5}{12}$，
故答案為：$2017\frac{5}{12}$

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．